Analisi Dinamica Lineare

Sommario

| Premessa | Il modello elasto-viscoso equivalente | Osservazioni sul sistema lineare equivalente | Decomposizione spettrale o Analisi Modale | Soluzione in termini di valori di picco | Analisi Sismica Dinamica | Rappresentazione spaziale dell'azione sismica | Il metodo dello spettro di risposta | Dissipazione e duttilità strutturale: i fattori di smorzamento e di struttura | Sovrapposizione delle componenti modali della risposta simica | Combinazione quadratica completa (regola CQC) | Inviluppo ellittico della risposta | Inviluppo rettangolare e suo uso nelle verifiche | Effetto dei modi ad alta frequenza | Completamento modale | Riferimenti Bibliografici |

Premessa ⇑

La risposta di una struttura soggetta a carichi dinamici dipende in modo rilevante dai meccanismi dissipativi che le consentono di disperdere l'energia fornita dall'esterno impedendo che questa possa accumularsi nella struttura in forma di energia elastica di deformazione e generare quindi tensioni elevate.

La dissipazione è essenzialmente originata dal comportamento nonlineare che porta al formarsi di cicli di isteresi (l'area del ciclo corrisponde all'energia dissipata). Altre forme di dissipazione, più propriamente viscose (effetto aerodinamico, ed altro) sono quantitativamente irrilevanti. Il comportamento nonlineare svolge pertanto un ruolo essenziale nella risposta dinamica delle strutture. Al momento, l'onere computazionale richiesto da una analisi dinamica condotta in campo nonlineare è ancora elevato.

In effetti, l'analisi dinamica nonlineare richiede un approccio incrementale al passo (Analisi Time-History) e coinvolge un numero elevato di passi (dell'ordine delle migliaia). Inoltre, se le azioni esterne sono note solo in termini probabilistici (come in analisi sismica), la risposta può essere solo caratterizzata attraverso simulazioni Montecarlo  in cui l'analisi è ripetuta per un numero rilevante di storie di carico (accelerogrammi spettro-compatibili).

Il modello elasto-viscoso equivalente ⇑

La complesstà di un approccio realmente non-lineare spinge verso soluzioni lineari approssimate, analisi dinamica modale, ottenute sostituendo all'effettivo meccanismo dissipativo di tipo isteretico un meccanismo ``equivalente'' di tipo viscoso. L'equazione di equilibrio dinamico viene scritta nella forma:

dove M è la matrice di rigidezza, C la matrice di viscosità, M la matrice delle masse, u[t] il vettore degli spostamenti, f il vettore delle forze e si è indicato con il punto la derivazione rispetto al tempo.

La validità di questa approssimazione è legata ad una scelta appropriata delle matrici M, K e  C ``equivalenti''. Generalmente si fa questa scelta:

·         M è definita in base all'effettiva distribuzione di masse.

·         K è presa pari alla matrice elastica iniziale.

·         C è scelta in modo da produrre la stessa dissipazione energetica fornita dal meccanismo isteretico interno.

Osservazioni sul sistema lineare equivalente ⇑

L'obbiettivo resta quello di ottenere, a parità di sollecitazione esterna, la stessa risposta massima che si produrrebbe nella struttura reale a comportamento isteretico e le difficoltà nascono dalla natura dei due meccanismi dissipativi, viscoso ed isteretico, che è qualitativamente diversa. Si osservi infatti che:

1.       La rigidezza della struttura varia in funzione dell'escursione in campo plastico. Una rigidezza ``equivalente'' costante e pari a quella elastica iniziale corrisponde quindi ad una approssimazione comunque molto rozza.

2.       Il meccanismo dissipativo reale della struttura è legato all'aria del ciclo di isteresi e quindi all'ampiezza di escursione in campo plastico, e non alla velocità con cui il ciclo viene percorso. Riferirsi ad una dissipazione legata alla velocità e non alla escursione, rende quanto meno ambiguo il concetto di equivalenza.

3.       Già alla nascita di questo concetto, nella seconda metà degli anni '60, vi erano forti dubbi su una sua accettabile definizione, da parte degli stessi ricercatori che la proponevano, anche nel caso semplice di oscillatore elementare ad un grado di libertà [1].

4.       Nelle strutture a più gradi di libertà, si aggiunge una ulteriore complicazione dovuta ad una differenza qualitativa tra i due comportamenti. Infatti, mentre la risposta ``equivalente'' lineare presenta comunque modi di vibrazione disaccoppiati, ciascuno dei quali è in rapporto diretto con la sola eccitante esterna, la risposta nonlineare è caratterizzata da forte accoppiamento modale e presenza di fenomeni caotici.

Decomposizione spettrale o Analisi Modale ⇑

Lo studio della risposta dinamica è condotto discutendo preliminarmente il problema di vibrazioni libere non dissipative retta dall'equazione omogenea

la cui soluzione può essere ottenuta in funzione degli autovettori , ed degli autovalori , del problema generalizzato agli autovalori:

Quest'ultimo, per  ed  simmetriche di ordine n, ammette n soluzioni distinte   caratterizzate dalle condizioni di bi-ortogonalità:

Gli autovettori , chiamati anche "modi di vibrare", costituiscono una base per lo spazio delle variabili. Pertanto, introducendo le ampiezze modali , la soluzione  del problema dinamico può essere espansa in questa base e l'equazione vettoriale si riduce ad un sistema disaccoppiato di equazioni scalari.

Vibrazioni libere

La soluzione generale della singola equazione modale è rappresentabile nella forma

dove le costanti  e  sono definite dalle condizioni iniziali. Pertanto la soluzione del problema di vibrazioni libere non smorzate può essere espressa dalla

che può leggersi come sovrapposizione di n contributi, ciascuno dei quali ha andamento sinusoidale con periodo , forma modale , ampiezza  e fase .

Le quantità  ed  sono chiamate, rispettivamente, modi e frequenze proprie di vibrazione del sistema. Le costanti  e  sono da determinare in accordo con le condizioni iniziali.

Vibrazioni forzate

Generalmente si assume che anche la matrice di viscosità  C, come la M e la K, sia ``disaccoppiabile'', cioè che risulti:

dove  rappresenta il fattore di smorzamento associato al modo i-esimo, da valutare in funzione delle proprietà dissipative del sistema. Questa assunzione, anche se non indispensabile, semplifica l'algebra ed è coerente con le altre approssimazioni in gioco.

In tali condizione l'analisi per disaccoppiamento modale può essere facilmente estesa alla presenza di forze viscose e di eccitazione esterna. Si ottiene infatti:

In analisi lineare, la presenza di una viscosità non disaccoppiabile non altera la sostanza della decomposizione modale, cioè la possibilità di decomporre il moto della struttura in modi energeticamente indipendenti, ma solo complica la forma di questi ultimi che, in tal caso, sono espressi da coppie complesse coniugate.

Soluzione in termini di valori di picco ⇑

La soluzione della singola equazione modale può essere condotta con gli strumenti standard del calcolo differenziale. In particolare, il valore di picco o caratteristico (cioè il massimo all'interno di un opportuno frattile) dello spostamento modale

raggiunta da un modo inizialmente in quiete, può essere espresso nella forma:

dove  è il valore di picco dell'eccitazione modale  ed ] è il fattore di amplificazione della risposta funzione della frequenza  e dello smorzamento  del sistema e dell'andamento temporale della forzante .

Analogamente i valori di picco della componente modale della velocità e dell'accelerazione sono definiti (convenzionalmente) dalle

Analisi Sismica Dinamica ⇑

In presenza di eccitazione sismica, l'equazione dinamica può essere scritta nella forma

dove  rappresenta lo spostamento relativo della struttura ed  lo spostamento rigido prodotto dal moto alla base della struttura:

Si ottiene il sistema disaccoppiato:

dove  è il cosiddetto fattore di partecipazione

In termini di valori di picco dell'ampiezza modale si ha quindi:

dove l'accelerazione spettrale  condensa tutta l'informazione sull'azione sismica e sulla sua interazione col moto del modo i-esimo.

Rappresentazione spaziale dell'azione sismica ⇑

L'accelerazione sismica al suolo  è generalmente definita come sovrapposizione di 3 componenti ortogonali, due in direzione orizzontale , ed una in verticale . Spesso si considera anche una quarta componente, di tipo torsionale, per tener conto del moto rotatorio del suolo ma anche delle possibili eccentricità di carico rispetto allo schema di progetto e degli effetti prodotti dall'accoppiamento flesso-torsionale che tipicamente si accompagna al comportamento nonlineare. Questa è definita in funzione di una eccentricità assegnata  e, in analogia con le altre tre componenti, descritta dalle

dove, come è facile controllare,  corrisponde ad una rotazione rigida rispetto ad un asse verticale passante per il baricentro delle masse.

In mancanza di una caratterizzazione più precisa, possiamo considerare le tre componenti traslatorie di accelerazione sismica come processi random gaussiani non correlati, di cui i valori ,,  ed  rappresentano i valori modali di picco:

e definire il valore di picco della componente torsionale  attraverso la relazione

che definisce un momento torcente prodotto da una forza  per il braccio .

Il metodo dello spettro di risposta ⇑

L'analisi modale fornisce la base per il Metodo dello Spettro di Risposta proposto da Clough e Wilson nei primi '60 [2,3,4,5] ed ancora largamente utilizzato nella verifica sismica  [6,7,8]. Il metodo si basa sulle seguenti considerazioni:

• La risposta della struttura è generalmente condizionata da pochi  modi principali caratterizzati da fattori di partecipazione  significativi. Il contributo dei modi secondari, a bassa partecipazione, è irrilevante. L'errore introdotto relativo è valutato come  a partire dalla percentuale di massa eccitata
                 
  che corrisponde alla frazione di massa inerziale messa in conto nell'analisi (ma ritorneremo più tardi ad approfondire il significato di questa scelta).
• Spesso (almeno per strutture intelaiate soggette ad azione sismica orizzontale), i modi principali sono anche quelli a periodo più alto, usualmente i primi ad essere forniti dagli algoritmi di soluzione.
• Siamo ancora lontani dal disporre di caratterizzazioni dettagliate dell'azione sismica. L'uso di un fattore sintetico come l'accelerazione spettrale  è conveniente, anche in quanto adatto all'uso in sistemi normativi.
• Il metodo può tener conto del comportamento nonlineare attraverso un parametro sintetico, il fattore di struttura q, correlato alla tipologia della costruzione, alla regolarità nella distribuzione di masse e rigidezze ed alle caratteristiche dei materiali.

Dissipazione e duttilità strutturale: i fattori di smorzamento e di struttura ⇑

Il metodo dello spettro di risposta fa riferimento ad un sistema elastico lineare con dissipazione viscosa. Il suo uso in ingegneria sismica richiede quindi qualche commento.

·         Sotto le forti oscillazioni prodotte dal sisma, le strutture hanno comportamento non lineare e sviluppano cicli di isteresi. La dissipazione così prodotta tende a smorzare le oscillazioni e ad allungarne il periodo.

·         Questo insieme di fenomeni, peraltro complessi e fortemente influenzati dalla duttilità dei materiali, è messo in conto attraverso un fattore di struttura  q > 1  che agisce essenzialmente come riduttore della risposta.

·         Il fattore sintetizza proprietà diverse della struttura che ne condizionano la capacità di assorbire forti deformazioni in campo anelastico e ne caratterizzano le condizioni dissipative complessive.

·         Resta di difficile valutazione, anche se il riscontro con i danni prodotti da eventi sismici trascorsi può fornire utili indicazioni al riguardo.

·         Un supporto alla scelta può essere dato, come suggerito dalle Ntc, da una correlazione euristica con la geometria e tipologia della costruzione (regolarità o meno in pianta ed in altezza, struttura a telai o a setti portanti ed altro).

Il valore base dell'accelerazione spettrale  è assegnato in relazione allo smorzamento modale del 5% (). Per valori diversi si interviene mediante il fattore di smorzamento  definito dalla (vedi [9])

che agisce, essenzialmente come amplificatore della risposta, ed ha quindi un ruolo sensibile nell'accelerazione modale. Nel caso di dissipazione viscosa, il fattore  può essere calcolato come media pesata dei valori  assegnati ai singoli elementi, con pesi proporzionali all'energia cinetica che questi hanno nel modo considerato. Si ottiene

dove  è la matrice delle masse dell'elemento e-esimo e  la riduzione all'elemento del vettore modale  è il peso associato al singolo contributo modale. Questa relazione, molto semplice, è accettabile in considerazione delle ambiguità dovute all'uso di una dissipazione viscosa ``equivalente''.

Il fattore di struttura q svolge un ruolo analogo a quello dello smorzamento ma resta di difficile valutazione in quanto basato su caratteristiche qualitative della struttura e quindi ciò ne rende parzialmente soggettiva la assegnazione. Informazioni più oggettive sul valore di q richiedono una analisi nonlineare, dinamica (Time History Analysis) o, quanto meno, statica (Pushover Analysis). Quest'ultima fornisce anche un modo semplice ma affidabile per controllare la presenza di possibili modi fragili, notoriamente pericolosi.

Sovrapposizione delle componenti modali della risposta simica ⇑

Riassumendo quanto già detto, si è visto come la dinamica (linearizzata) di una struttura soggetta ad azione sismica possa essere ricondotta alla sovrapposizione di contributi modali . Le formule in gioco sono molto semplici e si riducono a quelle di un oscillatore elasto-viscoso elementare. Le modalità di sovrapposizione sono semplificate dal fatto che le diverse quantità in gioco sono definite in termini di processi random Gaussiani a media nulla e caratterizzate solo attraverso i loro valori di picco.

Le difficoltà nascono dall'essere i massimi delle ampiezze modali attinti non contemporaneamente sui diversi modi e quindi una loro combinazione effettuata in termini di somma diretta tende a sopravvalutare largamente i valori di verifica.

Sappiamo peraltro che la sovrapposizione di più processi Gaussiani (a media nulla)  è ancora un processo Gaussiano (a media nulla), e riusciamo a caratterizzarne il valore di picco  della sovrapposizione mediante la formula quadratica

dove i fattori  esprimono il livello di correlazione mutua tra i processi i e j.

Tuttavia questa legge vale solo nel caso in cui le quantità  da combinare siano valori scalari. Nel caso di sovrapposizione di quantità vettoriali , la formula deve quindi essere applicata separatamente a ciascuna componente (a meno che tutte siano caratterizzate dalla stessa legge temporale e quindi, in definitiva, controllate da un singolo scalare random).

Combinazione quadratica completa (regola CQC) ⇑

La regola di combinazione quadratica appena descritta è alla base delle modalità di sovrapposizione utilizzate in analisi sismica. Queste si differenziano essenzialmente per la modalità di determinazione dei fattori di correlazione .

La regola di combinazione quadratica inizialmente proposta è stata quella nota come SRSS [10,11], che si ottiene assumendo , cioè trascurando del tutto la correlazione tra i modi. Molto presto tuttavia risultò evidente che questa regola tendeva a sottostimare eccessivamente la risposta in presenza di modi con frequenze e smorzamenti tra loro vicini e, per questo motivo, caratterizzati da una forte correlazione mutua [12].

Di seguito sono state proposte diverse formule per esprimere la correlazione, peraltro fra loro molto simili. Quella proposta da Wilson, Der Kiuregian e Bayo in [13] e ripresa in [14,15,16] è attualmente la versione più utilizzata. La formula, nota come regola CQC (Complete Quadratic Combination), basata sulla formula (vedi [8]-sect.13.7.2)

che, nel caso di fattori di smorzamento eguali ( si semplifica nella

Inviluppo ellittico della risposta ⇑

La regola CQC fornisce i valori di picco di singole componenti scalari della risposta. Spesso tuttavia, come nel caso di sezioni pressoinflesse dove compaiono insieme lo sforzo assiale e due momenti flettenti, la verifica opera non su uno scalare ma su un vettore multicomponente .

In questi casi, come mostrato in [16], non è meccanicamente coerente ottenere  dai contributi modali  combinando separatamente ciascuna delle sue componenti  con la regola CQC:

I singoli contributi modali  sono infatti riferiti ad istanti diversi e quindi non utilizzabili contemporaneamente nella verifica. Possiamo tuttavia, per ogni direzione  assegnata ottenere il valore scalare  a partire dai contributi modali :

Essendo  arbitraria, questa comporta

e l'inviluppo delle   è quindi definito dall'inviluppo ellittico

Inviluppo rettangolare e suo uso nelle verifiche ⇑

L'inviluppo ellittico da Menun e Der Kiureghian è spesso considerato interessante ed istruttivo come inquadramento teorico ma troppo complicato da essere implementato come metodologia corrente di verifica. Al suo posto è spesso utilizzata la regola nota come inviluppo rettangolare ottenuta ricavando separatamente la massima escursione di ciascuna componente scalare della sollecitazione e che, in quanto considera tutti i vertici del poliedro rettangolare circoscritto all'ellissoide, ne costituisce una approssimazione sicuramente a vantaggio di sicurezza.

La verifica si svolge nei seguenti passi:

1.       I contributi modali di ciascuna componente della sollecitazione sono combinati insieme con la CQC:

La somma è estesa a tutte le direzioni di incidenza sismica ed a tutti i modi messi in conto nell'analisi. Il risultato è assunto con entrambi i segni ``+'' e ``-''.

2.       Sono individuate le sollecitazioni di inviluppo:
             
assumendo a rotazione tutte le permutazioni di segno, in numero complessivo di .

3.       La verifica è condotta separatamente su ciascun vertice e considerata soddisfatta solo se lo è su tutti  vertici.

La regola rettangolare, anche se richiede di effettuare  verifiche separate, resta di semplice implementazioine. Tuttavia, mette insieme nella stessa verifica i valori estremi di ciascuna componente della sollecitazione, che in realtà non sono attinti contemporaneamente. Ciò porta a risultati incoerenti ed inutilmente restrittivi, tanto che recentemente alcuni ricercatori, fra cui lo stesso Wilson, che a suo tempo aveva suggerito la regola [17], hanno avanzato critiche al metodo accusandolo di sopravvalutare, anche pesantemente, le sollecitazioni di verifica e di utilizzare modalità di combinazione dei contributi modali basate su somme di valori assoluti e quindi meccanicamente incoerenti.

E' utile osservare che la rettangolare è spesso sostituita dalla regola 100/30/30 (o 100/40/40), anche se a volte a sproposito. Quest'ultima risulta meno restrittiva ma anche non cautelativa e pertanto inaffidabile come criterio di sicurezza, come descritto in [18].

Commento sulla correlazione mutua tra i modi ad alta frequenza.

La formula di correlazione CQC è direttamente mutuata dalla acustica e dalla teoria dei segnali. In quest'ambito siamo interessati al comportamento di regime dove la correlazione mutua tra i modi è strettamente legata alla vicinanza in frequenza.

L'analogia tra la dinamica sismica e l'acustica o la teoria dei segnali non è in effetti completa in quanto nel secondo caso si è in presenza di processi oscillatori con frequenze dell'ordine dei Khz e dei Mhz e durate di migliaia di cicli e quindi in pieno regime. Il moto sismico è invece caratterizzato da frequenze di qualche Hertz e da durate dell'ordine delle decine di secondi e quindi la risposta transiente acquista molta maggiore importanza. In alcuni casi, come nei moti ad alta frequenza, tende anzi a diventare la componente prevalente del moto.

Ciò ha ovvi riflessi sul valore dell'accelerazione spettrale  che, giustamente, tende al valore per , ma influisce anche pesantemente sulla correlazione mutua fra i modi ad alta frequenza, che essendo correlati strettamente alla forzante esterna lo sono ovviamente anche fra loro [19]. Questo aspetto è del tutto assente nella formula di correlazione CQC ed è di solito trascurato, anche in relazione al ruolo secondario che questi modi spesso (ma non sempre) hanno nella risposta.

Sono state tuttavia proposte diverse correzioni alla modalità di inviluppo in modo da mettere meglio in conto questa correlazione [20,19,21,22,23,24]. Per una informazione generale sull'argomento si rimanda ai testi di Gupta [6] e Chopra [8].

Effetto dei modi ad alta frequenza ⇑

Il numero di modi  che formano la base utilizzata nella decomposizione spettrale è pari al numero totale delle variabili, quindi dell'ordine delle decine di migliaia. Per ovvi motivi, non tutti i modi possono essere considerati nella combinazione ed in generale ci si ferma a metterne in conto solo qualche decina, scelti fra quelli a periodo proprio più alto. Spesso (ma non sempre) fra questi sono compresi quelli a partecipazione più alta e quindi si ottiene comunque una corretta ricostruzione della risposta dinamica complessiva.

Tuttavia ciò comporta che l'informazione contenuta nei modi ad alta frequenza sia del tutto ignorata e questo non è giustificato anche in considerazione del fatto che non è poi difficile metterli in conto in  modo accurato. Infatti, se la combinazione modale  abbraccia un numero sufficiente di modi, i successivi ad alta frequenza rimasti fuori dalla selezione sono (per quanto detto in precedenza) strettamente correlati tra loro e quindi da combinare con la regola della somma diretta e non mediante una combinazione quadratica a parziale correlazione.

Ciò significa che, per ciascuna delle 4 direzioni sismiche considerate () le risposte modali  ad alta frequenza possono essere direttamente sommate tra loro e condensate in un unico vettore  di completamento modale , ottenuto come residuo dell'espansione di . Quest'ultimo è fornito, a costo zero, dai moderni algoritmi di ricerca agli autovalori come il metodo restarting Lanczos [25,26,27].

Completamento modale ⇑

Per ciascuna delle 4 azioni sismiche considerate, il modo di completamento  è definito dalla 

A questo possono essere associati la pulsazione  ed il periodo  definiti dalle

e la risposta di picco ricavata, a partire dallo spettro simico del sito:

Quest'ultima fornisce il contributo del modo di completamento alla risposta in corrispondenza alla direzione considerata.

Aggiungendo all'insieme dei modi i 4 vettori di completamento così ottenuti, la massa eccitata risulta ovviamente unitaria per ciascuna direzione

e quindi se i modi che formano il completamento modale sono fra loro pienamente correlati, il contributo aggiunto completa esattamente la soluzione del problema dinamico, altrimenti la completa solo in forma approssimata. In tutti i casi ne migliora comunque sensibilmente l'accuratezza, con un extra-costo computazionale pressoché trascurabile.

L'uso del completamento modale, in quanto fornisce un miglioramento sensibile della soluzione con un extra-costo computazionale pressoché trascurabile, è sempre conveniente ma in alcuni casi diventa essenziale: in particolare nei casi in cui i modi a più alta partecipazione rientrano fra quelli ad alta frequenza che l'algoritmo agli autovalori fatica a restituire, come accade di frequente in strutture intelaiate in risposta alla componente sismica verticale. Può essere utile ricordare che metodologie sostanzialmente equivalenti sono riportate come Missing Mass Method in [28,23], come Residual Rigid Renponse in [24] e come Static Correction Method o Mode Acceleration Superposition Method in [8].

Riferimenti Bibliografici ⇑

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[5] Joseph Penzien Ray Clough. Dynamics of Structures. Computers and Structures, Inc., 3 edition, 2003.

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[16] C. Menun; A. Der Kiureghian. Envelopes for seismic response vectors. part i: Theory – part ii: Applications. Journal of Structural Engineering, 126, 04 2000.

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[19] Combination of modal responses, volume vol. K(a) - Seismic Response Analysis of Nuclear Power Plant Systems, Paris (FR), 1981. North-Holland Publishing Company.

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Raffaele