Analisi Pushover



Sommario
| Premessa | Modalità operative dell'analisi pushover | La curva pushover | Aspetti critici nell'analisi pushover | Definizione dell'oscillatore elastico equivalente | Vantaggi e svantaggi della pushover | Rapporti con l'analisi dinamica lineare | L'analisi pushover è uno strumento di progettazione | Quante diverse analisi pushover sono richieste? | Regole di gerarchia delle resistenze | La verifica pushover può sostituire le regole di gerarchia? | L'analisi pushover può sostituire l'analisi dinamica lineare? | Esempio | Riferimenti Bibliografici: | Allegati |

Premessa

L’analisi dinamica lineare rappresenta ancora il metodo di analisi più diffuso in ingegneria antisismica. E’ utilizzata da più di 60 anni ed ha avuto un esteso riscontro con esiti in terremoti reali. Tuttavia non tiene conto delle caratteristiche di duttilità della struttura se non in modo sommario attraverso l’introduzione di un fattore di struttura q valutabile solo mediante correlazioni euristico/qualitative.

In ragione di ciò, nella progettazione di strutture in zona sismica si è andato diffondendo un approccio alternativo, l'Analisi Pushover [1], che invece mette in conto gli effetti della duttilità senza che sia preliminarmente richiesta alcuna valutazione empirica del fattore di struttura [2,3,4]. Utilizzata in alternativa o, meglio, in combinazione con l'analisi dinamica lineare, questa fornisce uno strumento sintetico, semplice ma relativamente potente, per l'analisi di strutture soggette a spinte di forte intensità e ciclicamente variabili, quali quelle indotte dal sisma [5, 6].

L'analisi pushover è presente ormai, come opzione suggerita, nelle normative più recenti. Per le tipologie strutturali, come ad esempio le costruzioni in muratura, a prevalente comportamento nonlineare, rappresenta anzi la metodologia di analisi più fortemente consigliata.

Modalità operative dell'analisi pushover

L'analisi pushover è attuata nei seguenti passi:

  1. la struttura è assoggettata ad una spinta laterale di forma appropriata a caratterizzare l’azione sismica;
  2. la spinta è fatta crescere proporzionalmente (analisi path-following) e viene costruito un diagramma nonlineare forza/spostamento o curva di equilibrio che segue l’evoluzione delle plasticizzazioni e dei danneggiamenti negli elementi;
  3. l’analisi viene arrestata quando il livello di danno supera quello ammesso dalle condizioni di verifica associate allo stato limite considerato;
  4. la curva di equilibrio individua un oscillatore semplice non lineare ed è utilizzata per definire un oscillatore elastico equivalente, caratterizzato, sotto sisma, da uno spostamento massimo eguale o quanto meno correlato;
  5. la risposta in spostamento dell’oscillatore elastico è direttamente fornita dallo spettro. Dalla correlazione può essere calcolato lo spostamento massimo potenzialmente attivato dal sisma nell’oscillatore nonlineare;
  6. il rapporto capacità/domanda, tra lo spostamento effettivamente raggiunto nella curva e quello così definito dallo spettro, fornisce il fattore di sicurezza sismica della struttura;

L’analisi è ripetuta più volte con forme ed orientazioni diverse della spinta, in modo da rappresentare le possibili direzioni di incidenza sismica e si assume come fattore sicurezza complessivo il minore fra quelli calcolati.

La curva pushover

I risultati dell'analisi, riassunti in un diagramma u/a, dove a è l'accelerazione al suolo in percentuale dell'accelerazione di gravità g ed u è lo spostamento di riferimento, forniscono informazioni significative sul comportamento della struttura, in particolare:

  1. il valore massimo di accelerazione sostenuto dalla struttura;
  2. l'escursione massima dello spostamento raggiunto dalla struttura entro il livello di danno ammesso in relazione allo stato limite considerato.

Questi dati, incrociati con lo spettro sismico del sito possono essere usati per caratterizzare il fattore di struttura q e quindi migliorare l'affidabilità dell'analisi dinamica lineare.

Curva pushover con evidenizati stati limite e danno

Aspetti critici nell'analisi pushover

L'analisi pushover presenta indubbi vantaggi in quanto, anche se applicata in un contesto molto semplificato, corrisponde ad una analisi meccanicamente coerente. Inoltre si rapporta direttamente allo spettro sismico del sito, la più importante (e spesso sola) informazione di cui disponiamo sulle azioni sismiche attese. Tuttavia presenta diversi punti critici: 

  1. Spinta laterale di forma appropriata - L'analisi sintetizza l'eccitazione sismica in una unica spinta. La semplificazione è sicuramente grossolana ma non così grave in quanto: i) l'analisi può essere ripetuta a coprire tutte le possibili forme di spinta; ii) La presenza di plasticità e danneggiamento porta ad una localizzazione della deformazione ed ad una relativa insensibilità della risposta a dettagli dell'azione esterna rispetto alla distribuzione di resistenza e duttilità negli elementi della struttura; iii) l'eventuale presenza di modi deformativi a carattere fragile è comunque sempre riconosciuta ed evidenziata con chiarezza.
  2. La legge di danno - Il danneggiamento, che descrive la perdita di portanza negli elementi a seguito di deformazioni (rotazioni) anelastiche eccessive, ha una influenza diretta sull'analisi in quanto condiziona lo spostamento massimo raggiungibile. Sono disponibili diverse formule (basate su estrapolazione di dati sperimentali e su considerazioni euristiche) che esprimono le rotazioni anelastiche limite in travi o pilastri. La ricerca è molto attiva in questo settore.
  3. Oscillatore elastico equivalente - L'amplificazione dinamica è ricondotta a quella di un oscillatore elastico equivalente. L'idea di istituire una correlazione tra oscillatori elastici ed elastoplastici soggetti a carico ciclico che porti ad una equivalenza in termini di spostamento massimo raggiunto, risale agli anni '50 (Housner). Ma fin da allora destava qualche perplessità [7, 8]. E' questo l'aspetto più debole dell'analisi.

Definizione dell'oscillatore elastico equivalente

Come massa dell'oscillatore equivalente si assume quella totale della struttura. Resta quindi da tarare la rigidezza equivalente e la viscosità equivalente.

Sembrerebbe ragionevole assumere come rigidezza quella secante, quindi bassa rispetto a quella elastica iniziale, e definire la viscosità in ragione dell'energia dissipata nel ciclo di isteresi. Era questo in effetti l'approccio iniziale. Tuttavia, ciò in qualche modo si scontra col fatto che gli spettri di risposta, che definiscono l'azione sismica, sono tarati in ragione della modalità di utilizzo che si fa in analisi lineare dove si assume come rigidezza quella elastica iniziale.

Nell'analisi Pushover sono utilizzati pertanto sistemi equivalenti caratterizzati da bassa viscosità (si assume un fattore viscoso del 5%) e rigidezza molto vicina a quella elastica iniziale (si assume la secante al 65% della portanza). In queste condizioni la stima della rigidezza è il dato sensibile in quanto influisce direttamente sul risultato dell'analisi.

La scelta dello spostamento di riferimento u, se assunto come quello di un punto della struttura introduce una ulteriore arbitrarietà. Venendo questo usato ai fini di una equivalenza energetica, sembra opportuno che venga definito dalla eguaglianza del lavoro di deformazione

Equivalenza energetica per evitare punto di controllo

fi ed ui sono le forze agenti e gli spostamenti degli N nodi della struttura ed F il valore complessivo della spinta.    

Vantaggi e svantaggi della pushover

L'analisi pushover, in quanto basata su correlazioni almeno parzialmente euristiche, relative alla forma della spinta ed, ancora di più, alla definizione dell'oscillatore elastico equivalente, presenta elementi di incertezza e richiede pertanto qualche cautela. Presenta tuttavia dei vantaggi: mette direttamente in gioco la duttilità della struttura come parametro significativo, senza richiedere l'assunzione del fattore di struttura; inoltre evidenzia con chiarezza, se presenti, possibili modi locali di tipo fragile, generalmente ad alto rischio per la struttura.

La visualizzazione 3d del processo deformativo dovuto alla spinta fornisce informazioni importanti, anche se qualitative, sul comportamento degli elementi strutturali, ai fini del loro dimensionamento o della messa in opera di interventi di rinforzo. L'analisi pushover rappresenta quindi un utile strumento con cui accompagnare l'analisi modale, in quanto agevola il confronto fra soluzioni progettuali diverse e fornisce indicazioni sui possibili miglioramenti della sicurezza della struttura ottenibili attraverso un rafforzamento locale degli elementi più critici.

L'uso combinato delle analisi modale e pushover risulta particolarmente efficace in quanto le due analisi si completano a vicenda: la prima descrive in dettaglio la risposta in sollecitazioni della struttura, la seconda ne mette meglio in conto le capacità di spostamento. Un confronto tra le due fornisce poi elementi di scelta per una migliore calibrazione del fattore di struttura.

Rapporti con l'analisi dinamica lineare

Uno dei vantaggi dell'analisi pushover è quello di non richiedere una preventiva assunzione euristica del fattore di struttura. Lo svantaggio è quello di operare attraverso una semplificazione drastica dell'azione sismica, il cui effetto è ricondotto a quello di una unica spinta laterale.

Si perde la ricchezza di dettagli ottenibile con l'analisi dinamica lineare in cui ciascun modo risponde secondo una sua propria amplificazione dinamica. L'amplificazione dinamica è tuttavia messa in conto, anche se solo globalmente,  mediante la correlazione con uno schema elastico equivalente. L'analisi pushover diventa così uno strumento sintetico ma efficace per una valutazione complessiva della sicurezza sismica delle strutture.

Il fatto poi, che durante l'analisi i possibili modi deformativi a comportamento fragile della struttura vengano evidenziati con chiarezza, la rende uno strumento utile per la progettazione in quanto capace di fornire informazioni dirette per una ottimizzazione locale del dimensionamento. La possibilità di osservare in dettaglio ciò che avviene nella struttura al variare della spinta, permette di comprenderne meglio il comportamento e ciò rappresenta forse il maggior vantaggio della pushover.

L'analisi pushover è uno strumento di progettazione

Non possiamo che essere d'accordo con le conclusioni di Krawinkler in [11]:

         

``As the title states, there is much importance to good nonlinear analysis. The emphasis is on good, which implies realistic performance assessment at very large inelastic deformations.

There are several options to achieve this, and the simplest one that gets close to reality usually is the best one.

Observation of behavior during the analysis (whether pushover or time history) is perhaps more important than a rigorous quantitative evaluation based on maximum recorded force or deformation values. The main objective should be to understand behavior rather than fulfill code-specified limit values.

It is understood that this creates a dilemma, because many clients do not want to pay for understanding, they only want to pay for code compliance. It is our task to convince clients that the value of engineering services does not lie in code compliance but in providing the best product within the constraints set by society for life safety and collapse protection (in addition to a cost/benefit assessment of potential monetary losses.''

Quante diverse analisi pushover sono richieste?

L'analisi pushover, in quanto descrive la risposta della struttura ad una spinta sismica crescente ma con forma e direzione di incidenza predefinita, apre una finestra sul comportamento di questa ma ci offre solo una angolazione limitata della visuale. Per ottenere un quadro completo è necessario quindi ripetere più volte l'analisi esaminando tutte le possibili direzioni e modalità della spinta.

I modi di vibrazione principali sono modi deformativi significativi per la struttura. Si dovrebbe richiedere che ciascuno di essi sia ''coperto'' a sufficienza da una analisi pushover o, in termini quantitativi, che il fattore di partecipazione del modo rispetto ad una delle spinte sismiche considerate sia maggiore di un valore assegnato (ad es., in norma energia di deformazione, maggiore del 95%).

Nel caso di strutture sensibili ad azione torsionale o, per intenderci, con modi torsionali di periodo maggiore di quelli traslanti, conviene considerare una coppia torcente addizionale corrispondente ad una eccentricità della spinta che tenga conto delle possibili eccentricità di carico rispetto allo schema di progetto e degli effetti prodotti dall'accoppiamento flesso-torsionale che tipicamente si accompagnano al comportamento nonlineare.

Ciò porta ad una analisi a scansione che consideri almeno 8 (o 16) scansioni orizzontali, due diverse forme di spinta (ad accelerazione costante o lineare lungo l'altezza), e tre diverse eccentricità torsionali (+e / 0 / -e),  per un totale quindi di 48 (o 96) diverse analisi pushover.

Dato il numero notevole di analisi da effettuare, si comprende la necessità di ottimizzare al meglio le procedure di soluzione, come più volte abbiamo ripetuto.  

Regole di gerarchia delle resistenze

La gerarchia delle resistenze è un insieme di regole pratiche di progettazione che punta ad assicurare a priori un comportamento dissipativo/duttile, senza che vi sia bisogno di svolgere una analisi specifica a questo fine. L'intento è quello di garantire che i meccanismi deformativi duttili (ad es. flessionali nelle travi) si attivino comunque prima che possano svilupparsi meccanismi a carattere fragile (crisi da taglio o per presso-flessione nei pilastri). Si vuole così scongiurare a priori un possibile collasso fragile della struttura, di cui è ormai ampiamente documentata la pericolosità in relazione alle azioni sismiche.

Il criterio opera attraverso un sistema di regole che, applicate in cascata a tutti i possibili meccanismi locali di collasso, comportano una  sovra-resistenza in quelli a carattere fragile tale da impedirne a priori l'attivazione rispetto a quelli con maggiore duttilità. L'obiettivo è quello di ottenere una struttura con comportamento complessivamente duttile, anche se questo risultato è raggiunto, a volte, al prezzo di un sovradimensionamento rispetto alle strette richieste del calcolo.

Un sistema di regole che elimini comportamenti locali sicuramente pericolosi e peraltro spesso difficili da modellare e quindi permetta di concentrarsi sugli aspetti più di insieme dell'analisi, è sicuramente utile. Tuttavia se, come è inevitabile, fa riferimento a situazioni ricorrenti ma eccessivamente schematiche, rischia di generare ambiguità e di essere troppo restrittivo. Infatti, nell'applicazione sequenziale delle regole di gerarchia, il rafforzamento di un elemento si ripercuote in cascata sul rafforzamento di quelli contigui e tutto ciò, se non ben gestito, può comportare una eccessiva richiesta di resistenza e rendere problematico il dimensionamento della struttura, specie nei casi di irregolarità strutturale.

La verifica pushover può sostituire le regole di gerarchia?

Il comportamento duttile della struttura, perseguito dalla gerarchia delle resistenze, può essere  conseguito, in modo forse più efficace e sicuramente meno oneroso, controllando a posteriori le risorse di duttilità disponibili attraverso una analisi effettivamente condotta in campo nonlineare. In effetti, l'analisi pushover evidenzia con chiarezza l'insorgenza di meccanismi di collasso fragile.

Di conseguenza, la verifica che la struttura possieda adeguate risorse di duttilità può essere perseguita anche mediante l'analisi pushover (in sostituzione o in collaborazione con le regole di gerarchia delle resistenze).

La verifica pushover, è espressamente indirizzata al controllo di duttilità della struttura e fornisce rispetto a questo obiettivo uno strumento affidabile di verifica. In particolare, l'analisi evidenzia con chiarezza la possibile presenza di meccanismi a carattere fragile. Ciò permette, attraverso il rinforzo locale degli elementi interessati, di assicurare il rispetto della verifica.

Le Ntc 2008, al punto 7.3.6.2, relativo alle verifiche degli elementi strutturali in termini di duttilità e capacità di deformazione, davano la seguente indicazione:

               

"... Deve essere verificato che i singoli elementi strutturali e la struttura nel suo insieme possiedano una duttilità coerente con il fattore di struttura q adottato. Questa condizione si può ritenere soddisfatta applicando le regole di progetto specifiche e di gerarchia delle resistenze indicate per le diverse tipologie costruttive.

Alternativamente, e coerentemente con il modello e metodo di analisi utilizzato, si deve verificare che la struttura possieda una capacità di spostamento superiore alla domanda. ..."

L'analisi pushover può sostituire l'analisi dinamica lineare?

L'analisi pushover è uno strumento relativamente recente ma attualmente oggetto di una vasta attività di ricerca, sia teorica che sperimentale, che ha portato ad un affinamento continuo delle tecnologie algoritmiche utilizzate ed ad una taratura attenta dei diversi parametri e fattori di sicurezza utilizzati dall'analisi. Tuttavia fornisce uno strumento sintetico di verifica, non utilizzabile per una ricostruzione di dettaglio del comportamento degli elementi (anche se la sua abilità nell'evidenziare possibili meccanismi fragili, costituisce un utile aiuto alla progettazione).

In queste condizioni non può sostituire integralmente l'analisi dinamica lineare, che ha ormai al suo attivo una esperienza consolidata, almeno in strutture in cui il comportamento elastico ha importanza rilevante. Rispetto a questa ha il vantaggio di non richiedere l'assunzione di un fattore di struttura ma, anzi, di fornire informazioni su una sua migliore e più affidabile taratura.

L'analisi pushover rappresenta pertanto un utile completamento della analisi dinamica lineare e, in combinazione con questa, permette una valutazione migliore e più affidabile della sicurezza sismica della struttura.

In conclusione, l'analisi pushover rappresenta (al momento) un buon compromesso fra semplicità di analisi ed affidabilità di risultati, specie in casi di forte impegno anelastico, e se sono usate modellazioni e metodologie di soluzione appropriate, i risultati della simulazione statica sono affidabili e comunque capaci di evidenziare con chiarezza l'eventuale presenza di meccanismi deformativi quasi fragili e che quindi necessitano di eventuali rinforzi.

Per contro, l'approccio presenta ancora alcuni aspetti deboli:

  1. il sistema di forze utilizzato è ovviamente incapace di descrivere compiutamente l'azione sismica. Restano esclusi fenomeni legati ad azioni impulsive ad alta frequenza, irrilevanti sul comportamento globale della struttura ma importanti in relazione ad effetti locali sugli elementi strutturali.
  2. i risultati sono molto sensibili ad una accurata definizione della legge di evoluzione del danno e questa non sempre è disponibile con un livello di conoscenza adeguato.
  3. l'aspetto più debole è tuttavia rappresentato dalla definizione del sistema elastico equivalente che presenta ancora aspetti non del tutto risolti, malgrado la sua importanza in quanto collegamento quantitativo tra la curva pushover e l'informazione fornita dallo spettro sismico del sito.

In definitiva, l'analisi pushover è un strumento potente di progettazione antisismica, utilissimo specie nei casi di consolidamento o rinforzo strutturale. Va tuttavia accompagnato, se possibile, con indagini con analisi dinamica linearizzata. 

Esempio

Al seguente link è possibile scaricare un documento sintetico sulle modalità di implementazioni dell'analisi pushover in EDISIS:

https://www.newsoft-eng.it/Download/GetFile?file=184

 

Riferimenti Bibliografici:

[1] M. Fajfar, P.; Fischinger. N2 a method for non-linear seismic analysis of regular structures. In Proc. 9th World Conference on Earthquake Engineering, volume 5, pages 111–116. Tokyo-Kyoto, Japan 1988, 1988.

[2] P. Fajfar. A nonlinear analysis method for performance?based seismic design. Earthquake Spectra, 16, 08 2000.

[3] Ma. Kreslin; P. Fajfar. The extended n2 method taking into account higher mode effects in elevation. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 40, 2011.

[4] M. Kreslin; P. Fajfar. The extended n2 method considering higher mode effects in both plan and elevation. Bulletin of Earthquake Engineering, 10, 04 2012.

[5] P. Fajfar. Structural analysis in earthquake engineering: a breakthrough of simplified non-linear methods. In Proceedings of the 12th European Conference on Earthquake Engineering - London, pages 843–, 2002.

[6] P. Fajfar. Analysis in seismic provisions for buildings: past, present and future. Bulletin of Earthquake Engineering, 12 2017.

[7] G. W. Housner J. L. Alford and R. R. Martel. Spectrum analysis of strong-motion earthquakes. Technical report, Earthquake Research laboratory, California Institute of Tecnology, Pasadena (USA), 1951.

[8] D. W. Iwan. The dynamic response of bilinear hysteretic systems. Technical report, Pasadena (USA), 1961.

[9] H. Krawinkler. Pushover analysis: why, how, when, and when not to use it. Proceedings of the 65th Annual Convention of the Structural Engineering Association of California, pages 17–36, 1996.

[10] G.D.P.K. Seneviratn; H. Krawinkler. Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evauation. Engineering Structures, 20:452–464, 1998.

[11] Helmut Krawinkler. Importance of good nonlinear analysis. The Structural Design of Tall and Special Buildings, 15, 2006.

Allegati

Analsi pushover in EDISIS

Analisi pushover in POR2000

 
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